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第一题： 如果环 R 带乘法单位元 1，对任意 a ∈ R，请证明 −a = (−1)a。 \[ \begin{equation} \begin{split} \\&证明： \\&(-1)a+a=(-1)a+1a=((-1)+1)a=0a=0 \\&可知-a是(-1)a的一个加法逆元 \\&同理： a+(-a)=1a+(-a)=(1+(-1))a=0a=0 \\&根据逆元的唯一性可知(-1)a=-a \\&即得证 \end{split} \end{equation} \] 第二题： 如果任取环 R 中的元素 x 都满足 x^2 = x，请证明环 R 是交换环。 \[ \begin{equation} \begin{split} \\&证明：即证 \forall a,b\in R ,ab=ba \\&令x=a+b,因为x^2=x \\&得到a+b=(a+b)^2 \\&即a+b=a^2+ab+ba+b^2 \\&又a=a^2,b=b^2 \\& ...

第一题：证明命题11.4 设p是奇素数，a，b∈Z且不被p整除。则有： \[ \begin{equation} \begin{split} \\& 1.如果a\equiv b\quad (mod\quad p),则（\frac{a}{p}）=（\frac{b}{p}）\\& 证明如下：\\& 如果a\equiv b\quad (mod p)，则x^2\equiv a(mod \quad p)有解\\&当且仅当x^2\equiv b(mod \quad p)，则（\frac{a}{p}）=（\frac{b}{p}） \end{split} \end{equation} \] \[ \begin{equation} \begin{split} &2、证明： (\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p}) \\&运用欧拉准则，p是奇素数并且a,b不被p整除\\& 则(\frac{a}{p})\equiv a^{(p-1)/2}(mod \quad p) \qu ...

第一题： 运用 CRT 求解： ​ x ≡ 8 (mod 11) ​ x ≡ 3 (mod 19) $$ \[\begin{equation} \begin{split} &解：\\& 记a=8,b=3,p=11,q=19,n=pq=209\\& 11*p^{-1}\equiv1(mod\quad19)\\& 19*q^{-1}\equiv1(mod\quad11)\\& 解得：p^{-1}=7，q^{-1}=7\\& x=(8*19*7+3*11*7)mod\quad209=41\\& 则x=41 \end{split} \end{equation}\] $$ 第二题： 运用 CRT 求解：x ≡ 1 (mod 5) ​ x ≡ 2 (mod 7) ​ x≡ 3 (mod 9) ​ x ≡ 4 (mod 11) $$ $$ 第三题： 手动计算 2000^2019 (mod 221)，不允许使用电脑或者其他电子设备。[提示：这是一 道看上去与中国剩余定 ...

第五题： 证明：定义映射ϕ:G→ G为：g→ g^2。请证明ϕ一种群同态当且仅当G是阿贝尔群。 $$ \[\begin{equation} \begin{split} &证明如下：\\ &①\Leftarrow：已知G是阿贝尔群\\ &\forall g_1,g_2\in G \quad \phi(g_1*g_2)=(g_1*g_2)^2=(g_1*g_2)*(g_1*g_2)\\ &=g_1*(g_2*g_1)*g_2=g_1*(g_1*g_2)*g_2=g_1^2*g_2^2=\phi(g_1)*\phi(g_2)\\&则\phi是一种群同态\\& ②\Rightarrow：已知\phi是一种群同态\\& \forall g1,g2\in G\\& 有\phi(g1*g2)=\phi(g1)*\phi(g2)\\& (g1*g2)^2=g1^2*g2^2\\& g1g2*g1g2=g1^2*g2^2 由消去律得： g2g1=g1g2\\& 则G为阿贝尔群\ ...

a^bmodm的函数求法 写一个模指数运算函数Mod_Exp,输入a、b和m，输出a^b mod m ,即a的b次方模m. 123456789101112int Mod_Exp(int a, int b,int c){ int t = 1; while (b) { if (b & 1)//判断末尾的数是0还是1，如果是1,则需要进行取模运算 t = t * a % c; b >>= 1;//b的二进制数右移一位 a = a * a % c;//2,4,8......次方取余 } return t;} 求乘法逆元 写一个求乘法逆元的函数Mul_Inverse,输入a和m,求a模m的乘法逆元。提示：要求只输出正整数。 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657int gcd(int a, int b)//求最大公因子判断是否互为质数{ ...

1.用c语言编程实现一种迭代版本的简单乘法 12345678910111213141516171819202122232425262728#include<iostream>using namespace std;int mul(int a, int b){ int t = 0; int result = 0; if (b == 0) return 0; else { while (b) { if (b & 1) //b的二进制末尾为0 result += (a << t);//跳过不加 t++; b = (b >> 1); } } return result;}int main(){ int a, b; cout << "请输入a，b的值：" << endl; cin >> a >> b; cout << "a=" << a < ...

信息安全的数学基础 第一章 整数与二进制 \[ Z:整数\quad N：自然数\quad Q：有理数\quad R：实数\quad C：复数 \] 1.1 二进制 1.二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，计算机内部只有二进制。 2.为了区分十进制和二进制，通常会在二进制数值前加上ob标识以示区分。 $$ \begin{equation} \begin{split} 二进制性质一:偶数二进制最末尾的比特是0，奇数二进制末尾的比特是1。 \end{split} \end{equation} $$ \[ 二进制性质二:在一个二进制末尾增添一个0等同于在十进制中对这个数乘以2,\\反过来说，对一个十进制数乘以2操作等同于对其二进制表达式左移一个比特。 \] \[ \\二进制性质三:给定任意自然数，十进制数2^n的二进制数表达式就是在1后面加n个0：ob\underbrace {1000000....0}_{n} \] \[ 二进制性质四:给定任意自然数，十进制数2^n ...