第五题：

证明：定义映射ϕ:G→ G为：g→ g^2。请证明ϕ一种群同态当且仅当G是阿贝尔群。 $$ \[\begin{equation} \begin{split} &证明如下：\\ &①\Leftarrow：已知G是阿贝尔群\\ &\forall g_1,g_2\in G \quad \phi(g_1*g_2)=(g_1*g_2)^2=(g_1*g_2)*(g_1*g_2)\\ &=g_1*(g_2*g_1)*g_2=g_1*(g_1*g_2)*g_2=g_1^2*g_2^2=\phi(g_1)*\phi(g_2)\\&则\phi是一种群同态\\& ②\Rightarrow：已知\phi是一种群同态\\& \forall g1,g2\in G\\& 有\phi(g1*g2)=\phi(g1)*\phi(g2)\\& (g1*g2)^2=g1^2*g2^2\\& g1g2*g1g2=g1^2*g2^2 由消去律得： g2g1=g1g2\\& 则G为阿贝尔群\\& 即得证。 \end{split} \end{equation}\] $$

第六题：

设ϕ:G→H是一种群同态。请证明：如果G是循环群，则ϕ(G)也是循环群；如果G是交换群，则ϕ(G)也是交换群。

证明： $$ \[\begin{equation} \begin{split} &①：如果G是循环群，则ϕ(G)也是循环群\\1. &记g为G的生成元，则证\phi(G)=<\phi(g)>\\& \forall \phi(g')\in \phi(G),因为G是循环群，则g'=g^i\\& \phi(g')=\phi(g^i)=\underbrace{\phi(g) \phi(g) \phi(g) \phi(g)....\phi(g)}_i=[\phi(g)]^i\in<\phi(g)>\\& 2.\forall[\phi(g)]^i\in<\phi(g)>\\& 因为群同态，则[\phi(g)]^i=\phi(g^i)\\& 又G是循环群，g^i\in G,\phi(g^i)\in\phi(G) \\&即得证\phi(G)=<\phi(g)>，则\phi(G)是循环群。 \\&②如果G是交换群，则ϕ(G)也是交换群。\\& \forall g1,g2\in G,因为群同态，\phi(g1g2)=\phi(g1)\phi(g2)\\& 又因为G是交换群，则g1g2=g2g2\\& 所以\phi(g2g1)=\phi(g2)\phi(g1)\\& 则\phi(g1)\phi(g2)=\phi(g2)\phi(g1)\\& 则\phi(G)是交换群 \end{split} \end{equation}\] $$

第七题：

证明：如果 H 是群 G 上指标为 2 的子群，则 H 是 G 的正规子群。 $$ \[\begin{equation} \begin{split} \\&证明：已知H是群G上指标为2的子群\\& 1.若g\in H,则gH=Hg=H\\& 1.若g\in G且g\notin H, 由陪集的同一性或不想交性可知\\& gH=G-H,Hg=G-H\\& 则gH=Hg\\& 由正规子群的定义可知，H是G的正规子群。 \end{split} \end{equation}\] $$

第八题：

证明：给定任意群 G，H 是群 G 的正规子群。请证明，如果群 G 是阿贝尔群，则商群 G/H也是阿贝尔群。 $$ \[\begin{equation} \begin{split} \\& 证明：\\&\forall g1,g2\in G，因为G是阿贝尔群，则g1g2=g2g1 \\&H是群G的正规子群，则g1H=Hg1,g2H=Hg2\\& g1Hg2H=g1g2HH=g2g1HH=g2Hg1H\\& 又g1H,g2H\in G/H \\& 则商群G/H是阿贝尔群 \end{split} \end{equation}\] $$

第九题：

证明：给定任意群 G，H 是群 G 的正规子群。请证明，如果群 G 是循环群，则商群 G/H也是循环群。 \[ \begin{equation} \begin{split} \\& 证明：设G/H的生成元为gH,即证G/H=<gH>\\& 1.\forall giH\in G/H,则giH\in<gH>\\& 则G/H\leq<gH> \\& 2.\forall g^iH\in<gH>,因为G是循环群，则g^i\in G\\& 则g^iH\in G/H \\& 则<gH>\leq G/H\\& 得证，即G/H也是循环群 \end{split} \end{equation} \]