第一题：证明命题11.4

设p是奇素数，a，b∈Z且不被p整除。则有： \[ \begin{equation} \begin{split} \\& 1.如果a\equiv b\quad (mod\quad p),则（\frac{a}{p}）=（\frac{b}{p}）\\& 证明如下：\\& 如果a\equiv b\quad (mod p)，则x^2\equiv a(mod \quad p)有解\\&当且仅当x^2\equiv b(mod \quad p)，则（\frac{a}{p}）=（\frac{b}{p}） \end{split} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \begin{split} &2、证明： (\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p}) \\&运用欧拉准则，p是奇素数并且a,b不被p整除\\& 则(\frac{a}{p})\equiv a^{(p-1)/2}(mod \quad p) \quad (1)\\& (\frac{b}{p})\equiv b^{(p-1)/2}(mod \quad p) \quad (2)\\& (\frac{ab}{p})\equiv (ab)^{(p-1)/2}(mod \quad p) \quad(3) \\&将（1）（2）式子相乘即得（3） \\&即得证 \end{split} \end{equation} \]

$$

$$

\[ \begin{equation} \begin{split}\\& 3.证明： (\frac{a^2}{p})=1 \\&证明如下：由性质2可得(\frac{a^2}{p})=(\frac{a}{p})(\frac{a}{p}) \\&又因为a不被p整除，则(\frac{a}{p})=1或者-1 \\&则(\frac{a^2}{p})=1 \end{split} \end{equation} \]

第二题

给出推论11.1的完整证明 $$ \[\begin{equation} \begin{split} \\& 推论11.1：设p是一个奇素数，则：\\& (\frac{-1}{p})= \begin{cases} 1 \quad 如果p\equiv1(mod \quad 4) \\ -1 \quad 如果p\equiv-1(mod \quad 4) \end{cases} \\&证明如下： \\&①因为p\equiv1(mod \quad 4) \\&存在k \in Z使得p=4k+1 \\&根据欧拉准则， (\frac{-1}{p})\equiv(-1)^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{((4k+1)-1)/2}\equiv1(mod \quad p) \\&②因为p\equiv-1(mod \quad 4) \\&存在k \in Z使得p=4k-1 \\&根据欧拉准则， (\frac{-1}{p})\equiv(-1)^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{((4k-1)-1)/2}\equiv-1(mod \quad p)\\& 即得证 \end{split} \end{equation}\]

$$

第三题：
  1. 设 p 是奇素数，请证明 Z ∗ p 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余。 \[ \begin{equation} \begin{split} \\&证明如下：p是奇素数 \\&设g是Zp^*的生成元，则g的阶为p-1 \\&假设g是模p的二次剩余 \\&则根据欧拉准则(\frac{g}{p})\equiv g^{(p-1)/2}(mod \quad p)\equiv 1(mod \quad p) \\&这与g的阶是p-1矛盾，则假设错误 \\&得证Zp^*的所有生成元都是模p的二次非剩余。 \end{split} \end{equation} \]