第一题：

如果环 R 带乘法单位元 1，对任意 a ∈ R，请证明 −a = (−1)a。 \[ \begin{equation} \begin{split} \\&证明： \\&(-1)a+a=(-1)a+1a=((-1)+1)a=0a=0 \\&可知-a是(-1)a的一个加法逆元 \\&同理： a+(-a)=1a+(-a)=(1+(-1))a=0a=0 \\&根据逆元的唯一性可知(-1)a=-a \\&即得证 \end{split} \end{equation} \]

第二题：

如果任取环 R 中的元素 x 都满足 x^2 = x，请证明环 R 是交换环。 \[ \begin{equation} \begin{split} \\&证明：即证 \forall a,b\in R ,ab=ba \\&令x=a+b,因为x^2=x \\&得到a+b=(a+b)^2 \\&即a+b=a^2+ab+ba+b^2 \\&又a=a^2,b=b^2 \\&则a+b=a+ab+ba+b \\&依据加法消去律得：ab+ba=0,即ab=-(ba) \\&又ab=(ab)^2 \\&-(ba)=(-(ba))^2=(ba)^2 \\&则ab=ba,即得证 \end{split} \end{equation} \]

第三题：

请解释为什么Zn在加法上的子群都是Zn的子环。 $$ \[\begin{equation} \begin{split} \\&证明：设H是Zn的子群 \\&由于H是Zn的子群，则H⊆Zn。 \\&①集合H非空 \\&②证明加法上具有封闭性： \\&\forall a、b∈H，根据H是子群的定义，a+b∈H。因此，H对于Zn中的加法运算是封闭的。 \\&③\forall a\in H,\exists b \in H,使得a+b=0，得b=-a \\&因为H是子群，则b\in H,则-a \in H \\&即H对于Zn中的加法元素具有逆元。 \\&综上所述，得证 \end{split} \end{equation}\] $$

第四题：

证明环 2Z 不与环 3Z 同构。 \[ \begin{equation} \begin{split} \\&证明：2Z包含所有形如2n的整数，n\in Z \\&3Z包含所有形如3m的整数，m\in Z \\&假设存在一个从2Z到3Z同态映射f:2Z→3Z \\&现在考虑f(2)=f(1)+f(1) \\&f(1)+f(1)必定为偶数 \\&又3m表示的是奇数，且如果满足环同态则f(2)应该为偶数 \\&得出矛盾，假设不成立，则两者不同构 \end{split} \end{equation} \]